Triangle Area

1. What Is the Area of a Triangle?

The area of a triangle is the amount of flat space enclosed by its three sides, measured in square units. Every triangle has three possible bases — any side you choose — and for each base a matching height: the perpendicular distance from that base to the opposite vertex. Area depends only on a base and its own height, never on how slanted the other sides are.

Because two copies of any triangle fit together into a parallelogram of the same base and height, a triangle’s area is exactly half that parallelogram — the origin of the ½ in the formula.

삼각형의 넓이는 세 변으로 둘러싸인 평면의 크기입니다. 밑변(어느 변이든 가능)과 그에 대응하는 높이(밑변에서 마주 보는 꼭짓점까지의 수직 거리)로 정해집니다. 같은 삼각형 두 개를 붙이면 같은 밑변·높이의 평행사변형이 되므로, 삼각형 넓이는 그 절반입니다.

2. The ½·b·h Formula & a Worked Example

The core formula is A = ½ · b · h, where b is the chosen base and h is the perpendicular height to that base.

Worked example. A triangle has base b = 8 and height h = 5:

• Multiply base by height: 8 × 5 = 40.
• Take half: ½ × 40 = 20.

So the area is 20 square units. The formula works for every triangle — acute, right, or obtuse — as long as h is the perpendicular height, not a slanted side.

기본 공식은 A = ½·b·h입니다. 예: 밑변 8, 높이 5 → 8×5 = 40, 절반 20. 따라서 넓이는 20. 높이는 반드시 밑변에 대한 수직 거리여야 하며, 비스듬한 변 길이가 아닙니다.

3. When You Only Know the Three Sides

If you know all three side lengths but no height, use Heron’s formula: A = √(s(s−a)(s−b)(s−c)), where s = (a+b+c)/2 is the semi-perimeter. For a 5-6-7 triangle, s = 9, so A = √(9·4·3·2) = √216 ≈ 14.70.

If the corners are given as coordinates, the shoelace formula is fastest: A = ½|x₁(y₂−y₃) + x₂(y₃−y₁) + x₃(y₁−y₂)|. For vertices (0,0), (4,0), (2,3): A = ½|0 + 4·3 + 0| = ½·12 = 6 — the same as ½·b·h with base 4 and height 3.

높이를 모르고 세 변만 알면 헤론의 공식 A = √(s(s−a)(s−b)(s−c)) (s는 반둘레)를 씁니다. 5-6-7 삼각형은 s=9, A=√216≈14.70. 꼭짓점이 좌표로 주어지면 신발끈 공식이 빠릅니다: (0,0),(4,0),(2,3) → 6, 이는 ½·4·3과 같습니다.

4. Key Properties & Common Mistakes

• Height is perpendicular. h is the straight-down distance from the apex to the base line, not the length of a leaning side.
• Any side can be the base. All three base/height pairs give the same area — a useful cross-check.
• Obtuse triangles. The foot of the perpendicular may land outside the base segment; the formula still holds.
• Units are squared. A length in cm gives an area in cm².

높이는 수직 거리이며 비스듬한 변이 아닙니다. 어느 변을 밑변으로 잡아도 넓이는 같아 검산에 쓸 수 있습니다. 둔각삼각형은 수선의 발이 밑변 밖에 떨어질 수 있지만 공식은 그대로입니다. 길이가 cm면 넓이는 cm²입니다.

5. Frequently Asked Questions

What is the formula for the area of a triangle? A = ½ · base · height, where the height is the perpendicular distance from the base to the opposite vertex.

How do I find the area if I only know the three sides? Use Heron’s formula A = √(s(s−a)(s−b)(s−c)) with s = (a+b+c)/2.

Does ½·b·h work for non-right triangles? Yes — it works for every triangle, as long as you use the perpendicular height for your chosen base.

삼각형 넓이는 ½·밑변·높이입니다. 세 변만 알면 헤론의 공식(s는 반둘레)을 사용합니다. 이 공식은 직각삼각형뿐 아니라 모든 삼각형에서 성립하며, 선택한 밑변에 대한 수직 높이를 쓰면 됩니다.

Ready to practice? Drill triangle area and more on C:Geo, or review the full geometry reference and related pages: Pythagorean theorem, rectangle area, and trapezoid area.

실전 연습은 C:Geo에서, 전체 개념은 기하 레퍼런스와 피타고라스 정리, 직사각형 넓이, 사다리꼴 넓이 문서에서 이어집니다.