Pythagorean Theorem

1. What Is the Pythagorean Theorem?

The Pythagorean theorem relates the three sides of a right triangle — a triangle with one 90° angle. It states that the square of the hypotenuse c (the side opposite the right angle, always the longest) equals the sum of the squares of the two legs a and b:

a² + b² = c²

It applies only to right triangles, and it is the foundation for measuring distance in coordinate geometry.

피타고라스 정리는 직각(90°)이 하나 있는 직각삼각형의 세 변 관계입니다. 직각과 마주 보는 가장 긴 변인 빗변 c의 제곱이 두 변 a, b의 제곱의 합과 같습니다: a² + b² = c². 직각삼각형에서만 성립하며, 좌표기하의 거리 측정의 토대입니다.

2. Finding the Hypotenuse — a Worked Example

When you know both legs, square them, add, and take the square root.

Worked example. A right triangle has legs a = 3 and b = 4:

• Square each leg: 3² = 9, 4² = 16.
• Add: 9 + 16 = 25.
• Square root: √25 = 5.

So the hypotenuse is c = 5. The (3, 4, 5) triangle is the most famous right triangle of all.

두 변을 알면 각각 제곱해 더한 뒤 제곱근을 구합니다. 예: a=3, b=4 → 9+16=25, √25=5. 따라서 빗변 c=5입니다. (3,4,5)는 가장 유명한 직각삼각형입니다.

3. Finding a Missing Leg, Triples & the Converse

To find a leg, rearrange to a² = c² − b². Given hypotenuse c = 13 and leg b = 5: a² = 169 − 25 = 144, so a = √144 = 12 — the (5, 12, 13) triple.

Integer solutions like (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (7,24,25) are called Pythagorean triples. The converse is just as useful: if a² + b² = c² holds, the triangle must be right-angled. Carpenters use this “3-4-5 trick” to lay out square corners.

한 변을 구하려면 a² = c² − b²로 정리합니다. c=13, b=5 → a²=169−25=144, a=12 ((5,12,13)). (3,4,5),(5,12,13),(8,15,17) 같은 정수 해를 피타고라스 수라 합니다. 역도 성립해 a²+b²=c²이면 그 삼각형은 직각삼각형이며, 목수의 3-4-5 직각 잡기가 이를 활용합니다.

4. Key Properties & Common Mistakes

• Right triangles only. For non-right triangles, use the law of cosines c² = a² + b² − 2ab·cos C.
• c is the hypotenuse. It is opposite the right angle and is always the longest side — never square the wrong side.
• Don’t skip the square root. a² + b² gives c², not c.
• Powers the distance formula. Distance between (x₁,y₁) and (x₂,y₂) is √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²) — Pythagoras on the coordinate plane.

직각삼각형에서만 성립합니다(아니면 코사인 법칙). c는 직각과 마주 보는 빗변으로 가장 긴 변입니다. a²+b²는 c²이므로 제곱근을 빼먹지 마세요. 좌표평면의 거리 공식 √((x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²)이 바로 피타고라스 정리입니다.

5. Frequently Asked Questions

What is the Pythagorean theorem? In a right triangle, a² + b² = c², where c is the hypotenuse (the side opposite the 90° angle) and a, b are the legs.

How do I find a missing leg? Rearrange to a² = c² − b², then take the square root. For c = 13, b = 5: a = √(169 − 25) = 12.

Can I use it on any triangle? No — only right triangles. For others, use the law of cosines.

직각삼각형에서 a² + b² = c²이며 c는 빗변입니다. 한 변은 a² = c² − b²로 구합니다(c=13, b=5 → 12). 직각삼각형이 아니면 적용할 수 없고 코사인 법칙을 씁니다.

Ready to practice? Drill the Pythagorean theorem and more on C:Geo, or review the full geometry reference and related pages: triangle area, circle area, and polygon angles.

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