Polygon Angles

1. Interior Angles of a Polygon

A polygon is a closed figure made of straight sides. Each corner has an interior angle, and for any polygon with n sides those angles add to a fixed total. The reason is simple: any n-sided polygon can be cut from one vertex into exactly (n − 2) triangles, and each triangle contributes 180°.

So the sum of interior angles is (n − 2) · 180°. This holds for every convex polygon, no matter the side lengths.

다각형은 직선 변으로 이루어진 닫힌 도형입니다. 각 꼭짓점에는 내각이 있고, n각형이면 그 합이 일정합니다. 이유는 간단합니다: n각형은 한 꼭짓점에서 정확히 (n−2)개의 삼각형으로 나뉘고, 각 삼각형은 180°를 기여합니다. 따라서 내각의 합은 (n−2)·180°이며, 변 길이와 무관하게 모든 볼록 다각형에서 성립합니다.

2. The (n−2)·180° Formula & a Worked Example

Worked example. Find the interior-angle sum of a hexagon (n = 6):

• Subtract two: 6 − 2 = 4 (the number of triangles).
• Multiply by 180°: 4 × 180° = 720°.

So a hexagon’s interior angles total 720°. A quick sanity check: a triangle (n = 3) gives (3−2)·180° = 180°, and a quadrilateral (n = 4) gives 360° — both correct.

예: 육각형(n=6)의 내각의 합 → 6−2=4(삼각형 수), 4×180°=720°. 검산: 삼각형(n=3)은 (3−2)·180°=180°, 사각형(n=4)은 360°로 모두 맞습니다.

3. Regular Polygons & Exterior Angles

In a regular polygon all angles are equal, so each interior angle is the sum divided by n: (n−2)·180° / n. A regular hexagon has 720° / 6 = 120° per angle; a regular pentagon has 540° / 5 = 108°.

The sum of exterior angles (one per vertex) is always 360°, for any polygon — so each exterior angle of a regular n-gon is 360° / n. Interior and exterior angles at a vertex are supplementary: they add to 180°.

정다각형은 모든 각이 같아 한 내각은 합을 n으로 나눈 (n−2)·180°/n입니다. 정육각형은 720°/6=120°, 정오각형은 540°/5=108°. 외각의 합은 어떤 다각형이든 항상 360°이므로, 정n각형의 한 외각은 360°/n입니다. 한 꼭짓점의 내각과 외각은 보각(합 180°) 관계입니다.

4. Key Properties & Common Mistakes

• Don’t forget the −2. The sum is (n−2)·180°, not n·180°. This is the most common exam slip.
• Sum vs single angle. (n−2)·180° is the total; divide by n only for a regular polygon’s single angle.
• Exterior angles always total 360°. Independent of the number of sides.
• Convex assumption. The clean formulas assume a simple convex polygon.

−2를 빼먹지 마세요: 합은 (n−2)·180°이지 n·180°이 아닙니다(가장 흔한 실수). (n−2)·180°은 합계이며, n으로 나눈 한 각은 정다각형일 때만 유효합니다. 외각의 합은 변 수와 무관하게 항상 360°입니다. 깔끔한 공식은 단순 볼록 다각형을 가정합니다.

5. Frequently Asked Questions

What is the sum of interior angles of a polygon? (n − 2) · 180°, where n is the number of sides. A hexagon (n = 6) gives 4 · 180° = 720°.

What is each interior angle of a regular polygon? Divide the sum by n: (n−2)·180° / n. A regular hexagon has 120° at each corner.

What do the exterior angles add up to? Always 360°, for any polygon, regardless of how many sides it has.

다각형 내각의 합은 (n−2)·180°입니다(육각형 → 720°). 정다각형의 한 내각은 합을 n으로 나눈 (n−2)·180°/n(정육각형 → 120°)입니다. 외각의 합은 변 수와 무관하게 항상 360°입니다.

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