Sector Area

1. What Is a Sector?

A sector is the slice of a disk bounded by two radii and the arc between them — what most people call a “pie slice.” It is described by its radius r and its central angle θ, measured in degrees or radians.

The key idea: a sector is simply a fraction of the whole circle. An angle of θ degrees represents θ/360 of a full turn, so the sector takes that same fraction of the circle’s area and circumference.

부채꼴은 두 반지름과 그 사이의 호로 둘러싸인 원의 조각으로, 흔히 "파이 한 조각"이라 부릅니다. 반지름 r과 중심각 θ(도 또는 라디안)로 정해집니다. 핵심은 부채꼴이 원 전체의 일부분이라는 점입니다: θ도는 한 바퀴의 θ/360이므로, 부채꼴은 원 넓이와 둘레의 바로 그 비율만큼을 차지합니다.

2. The Sector-Area Formula & a Worked Example

In degrees the area is A = (θ / 360) · πr². In radians it simplifies to A = ½ · r² · θ.

Worked example. A sector has radius r = 6 and central angle θ = 90°:

• Fraction of the circle: 90 / 360 = ¼.
• Whole-circle area: π · 6² = 36π.
• Sector area: ¼ × 36π = 9π ≈ 28.27.

The radian check agrees: θ = π/2, so ½ · 6² · (π/2) = ½ · 36 · π/2 = 9π. ✓

도 단위 넓이는 A = (θ/360)·πr², 라디안에서는 A = ½·r²·θ입니다. 예: r=6, θ=90° → 90/360=¼, 원 넓이 36π, 부채꼴 ¼×36π = 9π ≈ 28.27. 라디안 검산: θ=π/2, ½·36·(π/2)=9π ✓.

3. Arc Length & Segments

The same fraction gives the arc length along the curved edge: L = (θ / 360) · 2πr in degrees, or L = rθ in radians. For the r = 6, θ = 90° sector: L = ¼ · 2π · 6 = ¼ · 12π = 3π ≈ 9.42.

A segment is the thinner region between a chord and its arc. Its area is the sector minus the triangle formed by the two radii: A_segment = ½r²(θ − sin θ), with θ in radians.

같은 비율이 호의 길이를 줍니다: L = (θ/360)·2πr(도) 또는 L = rθ(라디안). 예의 r=6, θ=90° → L = ¼·12π = 3π ≈ 9.42. 활꼴(segment)은 현과 호 사이의 얇은 영역으로, 부채꼴에서 삼각형을 뺀 ½r²(θ − sin θ)(θ는 라디안)입니다.

4. Key Properties & Common Mistakes

• Match the unit to the formula. Use (θ/360)·πr² for degrees and ½r²θ for radians — never mix them.
• θ = 360° gives the whole circle. Then (360/360)·πr² = πr², as it should.
• Sector area vs arc length. Area uses r²; arc length uses r to the first power. Don’t swap them.
• Convert before the radian formula. To use ½r²θ, θ must already be in radians (see degree–radian conversion).

공식에 맞는 단위를 쓰세요: 도는 (θ/360)·πr², 라디안은 ½r²θ. θ=360°이면 πr²(원 전체)입니다. 넓이는 r², 호의 길이는 r의 1차이니 혼동하지 마세요. ½r²θ를 쓰려면 θ를 먼저 라디안으로 변환해야 합니다.

5. Frequently Asked Questions

What is the formula for the area of a sector? A = (θ/360)·πr² when θ is in degrees, or A = ½r²θ when θ is in radians.

How do I find the arc length? L = (θ/360)·2πr in degrees, or L = rθ in radians — the same fraction of the circumference.

Why is the radian formula simpler? Because a radian is defined by arc length, the 360 and the conversion factor cancel, leaving the clean ½r²θ.

부채꼴 넓이는 (θ/360)·πr²(도) 또는 ½r²θ(라디안)입니다. 호의 길이는 (θ/360)·2πr 또는 rθ로 둘레의 같은 비율입니다. 라디안은 호의 길이로 정의되어 360과 변환 인자가 약분되므로 공식이 ½r²θ로 간단해집니다.

Ready to practice? Drill sector area and more on C:Geo, or review the full geometry reference and related pages: circle area, circumference, and degree–radian conversion.

실전 연습은 C:Geo에서, 전체 개념은 기하 레퍼런스와 원의 넓이, 원의 둘레, 도·라디안 변환 문서에서 이어집니다.