Counting Principles
Sizing the sample space · 경우의 수
1. Why Counting Matters for Probability
When every outcome is equally likely, probability reduces to counting: P(A) = |A| / |Ω|, the number of favorable outcomes over the total number of outcomes. So before you can find a probability, you must count the size of the sample space Ω and the size of the event A.
Counting cleanly is harder than it looks, but three tools handle almost everything: the multiplication rule, permutations, and combinations.
모든 결과가 똑같이 일어날 때 확률은 경우의 수 문제가 됩니다: P(A) = |A| / |Ω|, 즉 유리한 결과 수를 전체 결과 수로 나눈 값입니다. 따라서 확률을 구하려면 먼저 표본공간 Ω의 크기와 사건 A의 크기를 세어야 합니다. 깔끔하게 세는 일은 생각보다 까다롭지만, 곱의 법칙·순열·조합 세 도구가 대부분을 해결합니다.
2. The Multiplication Rule & a Worked Example
The multiplication rule: if a process has stages with n₁, n₂, …, nₖ independent options, the total number of outcomes is n₁ · n₂ · … · nₖ.
Worked example. A set menu offers 3 starters, 4 mains, and 2 desserts:
- Multiply the stage counts: 3 × 4 × 2 = 24 different meals.
The same logic sizes a sample space: rolling two dice gives 6 × 6 = 36 equally likely ordered outcomes. So P(both show 6) = 1/36, and P(sum = 7) = 6/36 = 1/6.
곱의 법칙: 시행이 n₁, n₂, …, nₖ개의 독립적 선택지를 가진 단계로 이루어지면 전체 결과 수는 n₁·n₂·…·nₖ입니다. 예: 전채 3·메인 4·디저트 2 → 3×4×2 = 24가지. 같은 원리로 주사위 2개는 6×6 = 36가지라 P(둘 다 6) = 1/36, P(합 = 7) = 6/36 = 1/6입니다.
3. Permutations vs Combinations
When you select k items from n, order decides the formula. A permutation counts ordered arrangements: P(n, k) = n!/(n−k)!, so P(5, 3) = 5·4·3 = 60. A combination counts unordered selections: C(n, k) = n!/(k!(n−k)!), so C(5, 3) = 60/3! = 10.
The mental check is always “does order matter?” A podium (1st/2nd/3rd) is a permutation; a committee is a combination. For full derivations see permutations and combinations.
n개에서 k개를 고를 때 순서가 공식을 결정합니다. 순열은 순서 있는 배열 P(n, k) = n!/(n−k)!로 P(5,3) = 5·4·3 = 60, 조합은 순서 없는 선택 C(n, k) = n!/(k!(n−k)!)로 C(5,3) = 60/3! = 10입니다. 판단 기준은 늘 "순서가 중요한가?"입니다. 자세한 유도는 순열·조합 문서를 참고하세요.
4. Key Properties & Common Mistakes
- Stages multiply, choices within a stage add. “And” across stages multiplies; “or” within a stage adds.
- Order matters → permutation; order doesn’t → combination. Mixing these is the top counting error.
- Count Ω the same way as A. Use ordered counts (or unordered) consistently in numerator and denominator.
- Inclusion-exclusion for overlap. |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| avoids double-counting.
단계 사이("그리고")는 곱하고, 한 단계 안의 선택지("또는")는 더합니다. 순서가 중요하면 순열, 아니면 조합이며 이를 섞는 것이 가장 흔한 실수입니다. 분자(|A|)와 분모(|Ω|)를 같은 방식(순서 있게 또는 없게)으로 세야 합니다. 겹침이 있으면 포함-배제 |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|로 중복을 제거합니다.
5. Frequently Asked Questions
What is the multiplication rule? If a process has stages with n₁, …, nₖ options, the total number of outcomes is the product n₁ · n₂ · … · nₖ.
When do I use a permutation vs a combination? Use a permutation when order matters (arrangements), a combination when it does not (selections).
Why do I need to count for probability? Because for equally likely outcomes, P(A) = |A| / |Ω| — both the event and the sample space are counts.
곱의 법칙은 단계별 선택지 수의 곱 n₁·n₂·…·nₖ이 전체 결과 수라는 원리입니다. 순서가 중요하면 순열, 아니면 조합을 씁니다. 똑같이 일어나는 결과에서 P(A) = |A| / |Ω|이므로 사건과 표본공간을 모두 세어야 확률을 구할 수 있습니다.
Ready to practice? Drill counting and more on C:Prob, or review the full probability reference and related pages: basic probability, permutations, and combinations.