Basic Probability

1. What Is Probability?

Probability assigns every event a number between 0 (impossible) and 1 (certain) that measures how likely it is. The set of all possible outcomes is the sample space Ω; an event is any subset of Ω. For one die, Ω = {1,2,3,4,5,6}, and “rolling an even number” is the event {2,4,6}.

Kolmogorov’s three axioms govern everything: P(A) ≥ 0, P(Ω) = 1, and the probabilities of mutually exclusive events add. Every other rule follows from these.

확률은 모든 사건에 0(불가능)부터 1(확실)까지의 수를 부여해 가능성을 나타냅니다. 모든 가능한 결과의 집합이 표본공간 Ω이고, 사건은 Ω의 부분집합입니다. 주사위에서 Ω = {1,2,3,4,5,6}, "짝수 나오기"는 {2,4,6}입니다. 콜모고로프의 세 공리(P ≥ 0, P(Ω) = 1, 서로소 사건의 가법성)에서 모든 규칙이 따라 나옵니다.

2. The Favorable/Total Formula & a Worked Example

When outcomes are equally likely, P(A) = |A| / |Ω| — favorable outcomes over total outcomes.

Worked example. Roll a fair die; what is P(even)?

• Favorable outcomes: {2, 4, 6} — that’s 3.
• Total outcomes: 6.
• P(even) = 3/6 = 1/2 = 0.5.

Drawing one card from a deck, P(ace) = 4/52 = 1/13 ≈ 0.077. The formula holds only while every outcome really is equally likely.

결과가 똑같이 일어날 때 P(A) = |A| / |Ω|, 유리한 결과를 전체 결과로 나눕니다. 예: 주사위에서 P(짝수)는 유리한 결과 {2,4,6} 3개, 전체 6개라 3/6 = 1/2 = 0.5. 카드 한 장에서 P(에이스) = 4/52 = 1/13 ≈ 0.077. 모든 결과가 정말 똑같이 일어날 때만 이 공식이 성립합니다.

3. The Complement and Addition Rules

The complement rule is the handiest shortcut: P(not A) = 1 − P(A). For a die, P(not 6) = 1 − 1/6 = 5/6. Use it whenever “at least one” is easier to count by its opposite.

The addition rule for a union subtracts the overlap so it isn’t double-counted: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Drawing a heart or a king from a deck: 13 hearts + 4 kings − 1 king of hearts = 16, so P = 16/52 = 4/13 ≈ 0.308.

여사건 규칙은 가장 유용한 지름길입니다: P(A가 아님) = 1 − P(A). 주사위에서 P(6이 아님) = 1 − 1/6 = 5/6. 합집합의 덧셈 규칙은 겹침을 빼서 중복을 막습니다: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). "하트 또는 킹"은 13 + 4 − 1 = 16이라 P = 16/52 = 4/13 ≈ 0.308입니다.

4. Key Properties & Common Mistakes

• Always between 0 and 1. A result outside [0, 1] is a sure sign of an error.
• Subtract the overlap. For “A or B,” forgetting −P(A ∩ B) double-counts shared outcomes.
• Use the complement for “at least one.” P(at least one) = 1 − P(none) is usually far easier.
• Equally likely is an assumption. A loaded die or biased coin breaks |A|/|Ω|; switch to relative frequencies.

확률은 항상 0과 1 사이이며, 범위를 벗어나면 오류입니다. "A 또는 B"에서 −P(A ∩ B)를 빠뜨리면 공통 결과를 두 번 셉니다. "적어도 하나"는 P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음)이 보통 훨씬 쉽습니다. "똑같이 일어남"은 가정이며, 편향된 주사위·동전에서는 |A|/|Ω|가 깨지므로 상대도수를 씁니다.

5. Frequently Asked Questions

What is the basic probability formula? For equally likely outcomes, P(A) = |A| / |Ω| — the count of favorable outcomes divided by the total number of outcomes.

What is the complement rule? P(not A) = 1 − P(A); the probability an event does not happen is one minus the probability it does.

How do I find P(A or B)? Use P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), subtracting the overlap so shared outcomes aren’t counted twice.

기본 확률은 똑같이 일어나는 결과에서 P(A) = |A| / |Ω|입니다. 여사건 규칙은 P(A가 아님) = 1 − P(A)입니다. "A 또는 B"는 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)로, 겹침을 빼서 공통 결과의 중복을 막습니다.

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