Conditional Probability

1. What Is Conditional Probability?

Conditional probability is the probability of an event A given that another event B has already occurred, written P(A | B). Knowing B restricts the world from the full sample space Ω down to just B, and you ask what fraction of that smaller world also lies in A.

This is how probability incorporates new information — the foundation for sequential events, independence, and Bayes’ theorem.

조건부 확률은 사건 B가 이미 일어났다는 조건에서 사건 A의 확률로, P(A | B)로 씁니다. B를 안다는 것은 전체 표본공간 Ω를 B로 좁히는 것이며, 그 좁아진 세계에서 A에 속하는 비율을 묻습니다. 이것이 확률이 새 정보를 반영하는 방식으로, 순차 사건·독립·베이즈 정리의 토대가 됩니다.

2. The P(A|B) Formula & a Worked Example

The defining formula is P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B), valid whenever P(B) > 0.

Worked example. Draw one card. What is P(king | the card is a face card)? Face cards are J, Q, K — 12 of them; kings among them — 4.

• P(king ∩ face) = 4/52, P(face) = 12/52.
• P(king | face) = (4/52) / (12/52) = 4/12 = 1/3.

Knowing the card is a face card lifts the king probability from 4/52 ≈ 0.077 to 1/3 ≈ 0.333.

정의 공식은 P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)이며 P(B) > 0일 때 성립합니다. 예: 카드 한 장에서 P(킹 | 그림 카드)? 그림 카드(J·Q·K)는 12장, 그중 킹은 4장 → P(킹 ∩ 그림) = 4/52, P(그림) = 12/52, P(킹 | 그림) = (4/52)/(12/52) = 4/12 = 1/3. 그림 카드임을 알면 킹 확률이 4/52 ≈ 0.077에서 1/3 ≈ 0.333으로 올라갑니다.

3. The Multiplication Rule & Independence

Rearranging gives the multiplication rule: P(A ∩ B) = P(A | B) · P(B). It computes the chance of two events both happening when one depends on the other.

Drawing two aces without replacement: P = (4/52) · (3/51) = 12/2652 = 1/221 ≈ 0.0045. Two events are independent exactly when P(A | B) = P(A) — knowing B tells you nothing about A. Separate coin flips are independent; cards drawn without replacement are not.

정리하면 곱셈정리 P(A ∩ B) = P(A | B) · P(B)가 됩니다. 한 사건이 다른 사건에 의존할 때 두 사건이 모두 일어날 확률을 계산합니다. 비복원으로 에이스 2장: P = (4/52)·(3/51) = 12/2652 = 1/221 ≈ 0.0045. 두 사건이 독립일 조건은 P(A | B) = P(A) — B를 알아도 A에 대한 정보가 없을 때입니다. 동전 던지기는 독립이지만, 비복원 카드 뽑기는 독립이 아닙니다.

4. Key Properties & Common Mistakes

• P(A|B) ≠ P(B|A). Direction matters; swapping them is the most common error (Bayes’ theorem fixes it).
• Condition shrinks the sample space. Given B, the denominator becomes P(B), not 1.
• Independence is a calculation. Verify P(A∩B) = P(A)·P(B); never assume it.
• Disjoint ≠ independent. Disjoint events with nonzero probability are maximally dependent, not independent.

P(A|B) ≠ P(B|A) — 방향이 중요하며 둘을 바꾸는 것이 가장 흔한 실수입니다(베이즈 정리가 이를 바로잡습니다). B가 주어지면 표본공간이 좁아져 분모가 1이 아니라 P(B)가 됩니다. 독립은 P(A∩B) = P(A)·P(B)로 확인해야 하며 가정하면 안 됩니다. 서로소와 독립은 다릅니다 — 확률이 0이 아닌 서로소 사건은 독립이 아니라 최대로 종속입니다.

5. Frequently Asked Questions

What is the formula for conditional probability? P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B), the probability of A restricted to the cases where B occurs.

Is P(A|B) the same as P(B|A)? No. They are generally different; converting between them requires Bayes’ theorem.

How do I know if two events are independent? They are independent when P(A | B) = P(A), equivalently P(A ∩ B) = P(A) · P(B).

조건부 확률은 P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)로, B가 일어난 경우로 제한한 A의 확률입니다. P(A|B)와 P(B|A)는 일반적으로 다르며, 둘을 변환하려면 베이즈 정리가 필요합니다. 두 사건은 P(A | B) = P(A), 즉 P(A ∩ B) = P(A) · P(B)일 때 독립입니다.

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