Expected Value

1. What Is Expected Value?

The expected value E[X] of a random variable is the probability-weighted average of every value it can take. It is the average you would converge to if you repeated the experiment a huge number of times — the long-run average, not necessarily a value you can ever observe on a single trial.

Expected value is the foundation of fair pricing, betting, insurance, and decision-making under uncertainty: it answers “on average, what do I get?“

확률변수의 기댓값 E[X]는 그 변수가 가질 수 있는 모든 값의 확률 가중평균입니다. 실험을 아주 여러 번 반복하면 수렴하는 평균값, 즉 장기 평균이며, 한 번의 시행에서 실제로 관측되는 값일 필요는 없습니다. 기댓값은 공정 가격, 베팅, 보험, 불확실성 하의 의사결정의 토대로 "평균적으로 얼마를 얻는가?"에 답합니다.

2. The E[X] Formula & a Worked Example

For a discrete random variable, E[X] = Σ xᵢ · P(xᵢ) — multiply each value by its probability and sum.

Worked example. Roll a fair six-sided die. Each face has probability 1/6:

• E[X] = 1·(1/6) + 2·(1/6) + … + 6·(1/6) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5.

So the expected roll is 3.5 — a value the die can never actually show, which is exactly the point: “expected” means long-run average. Over a million rolls, the sample mean will sit extremely close to 3.5.

이산 확률변수의 기댓값은 E[X] = Σ xᵢ · P(xᵢ)로, 각 값에 확률을 곱해 더합니다. 예: 공정한 주사위는 각 면 확률 1/6 → E[X] = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5. 3.5는 주사위로 실제 나올 수 없는 값이며, 바로 그 점이 핵심입니다 — "기대"는 장기 평균을 뜻합니다. 백만 번 굴리면 표본평균이 3.5에 매우 가까워집니다.

3. A Betting Example & Linearity

Expected value decides whether a game is worth playing. Suppose you win $10 with probability 0.2 and lose $3 with probability 0.8:

• E[X] = 10·(0.2) + (−3)·(0.8) = 2 − 2.4 = −0.40.

The expected outcome is a loss of 40 cents per play, so the game is unfavorable over the long run. A powerful shortcut is linearity of expectation: E[X + Y] = E[X] + E[Y], which holds even when X and Y are dependent.

기댓값은 게임을 할 가치가 있는지를 결정합니다. 0.2 확률로 $10을 따고 0.8 확률로 $3을 잃는다면 E[X] = 10·0.2 + (−3)·0.8 = 2 − 2.4 = −0.40. 한 판당 평균 40센트 손실이라 장기적으로 불리합니다. 강력한 지름길은 기댓값의 선형성 E[X + Y] = E[X] + E[Y]로, X와 Y가 종속이어도 성립합니다.

4. Key Properties & Common Mistakes

• Probabilities must sum to 1. Check the distribution before computing, or the weighting is wrong.
• Expected ≠ most likely. The die’s E[X] = 3.5 is impossible to roll; expectation is an average, not a mode.
• Linearity needs no independence. E[X + Y] = E[X] + E[Y] always; only variance addition requires independence.
• Include signs. Losses are negative values — a missing minus sign flips the conclusion.

확률의 합은 1이어야 하며, 계산 전에 분포를 확인하지 않으면 가중이 틀립니다. 기댓값은 최빈값이 아닙니다 — 주사위의 E[X] = 3.5는 나올 수 없는 평균입니다. 선형성 E[X + Y] = E[X] + E[Y]은 독립이 필요 없지만, 분산의 덧셈은 독립이 필요합니다. 손실은 음수 값이므로 부호를 빠뜨리면 결론이 뒤집힙니다.

5. Frequently Asked Questions

What is the formula for expected value? E[X] = Σ xᵢ · P(xᵢ): multiply each possible value by its probability and add the products.

Why is the expected value of a die 3.5? Because it is the probability-weighted average (1+…+6)/6 = 3.5 — a long-run average, not a value you can roll.

What is the linearity of expectation? E[X + Y] = E[X] + E[Y], which holds for any random variables, even dependent ones.

기댓값은 E[X] = Σ xᵢ · P(xᵢ)로, 각 값에 확률을 곱해 더합니다. 주사위의 기댓값이 3.5인 것은 확률 가중평균 (1+…+6)/6 = 3.5이기 때문이며, 굴려서 나오는 값이 아니라 장기 평균입니다. 기댓값의 선형성 E[X + Y] = E[X] + E[Y]은 종속인 확률변수에도 성립합니다.

Ready to practice? Drill expected value and more on C:Prob, or review the full probability reference and related pages: binomial distribution, basic probability, and Bayes’ theorem.

실전 연습은 C:Prob에서, 전체 개념은 확률 레퍼런스와 이항분포, 기본 확률, 베이즈 정리 문서에서 이어집니다.