Binomial Distribution
Successes in n yes/no trials · 이항분포
1. What Is the Binomial Distribution?
The binomial distribution counts the number of successes in a fixed number n of independent yes/no trials, each with the same success probability p. Coin flips, free throws, click-through events, and pass/fail inspections all fit this mould.
Its requirements are easy to remember: a fixed n, two outcomes per trial, constant p, and independent trials. When all four hold, the binomial gives the exact probability of every possible count of successes.
이항분포는 성공 확률 p가 일정한 독립적인 예/아니오 시행을 n번 했을 때의 성공 횟수를 셉니다. 동전 던지기, 자유투, 클릭 여부, 합격/불합격 검사가 모두 여기에 해당합니다. 조건은 기억하기 쉽습니다: 고정된 n, 시행마다 두 결과, 일정한 p, 독립 시행. 네 조건이 모두 성립하면 이항분포가 각 성공 횟수의 정확한 확률을 줍니다.
2. The PMF Formula & a Worked Example
The probability of exactly k successes is P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, where C(n, k) counts which trials succeed.
Worked example. Flip a fair coin 5 times (n = 5, p = 0.5); what is P(exactly 2 heads)?
- Choose which 2 of 5 flips are heads: C(5, 2) = 10.
- Probability of each such pattern: 0.5² · 0.5³ = 0.5⁵ = 0.03125.
- Multiply: 10 × 0.03125 = 0.3125.
So P(2 heads) = 0.3125, about 31%.
정확히 k번 성공할 확률은 P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ이며, C(n, k)는 어느 시행이 성공인지를 셉니다. 예: 공정한 동전 5번(n=5, p=0.5)에서 P(앞면 2번)? C(5, 2) = 10, 각 패턴 0.5²·0.5³ = 0.5⁵ = 0.03125, 곱하면 10×0.03125 = 0.3125 (약 31%).
3. Mean, Variance & a Biased Example
The binomial has tidy summaries: mean = n·p and variance = n·p·(1 − p). For the 5-flip fair coin, the mean is 5·0.5 = 2.5 heads and the variance is 5·0.5·0.5 = 1.25.
The trials need not be fair. With 3 parts each defective with probability p = 0.2, P(exactly 1 defective) = C(3, 1)·0.2·0.8² = 3·0.2·0.64 = 0.384.
이항분포는 깔끔한 요약값을 가집니다: 평균 = n·p, 분산 = n·p·(1 − p). 5번 던지는 공정한 동전은 평균 5·0.5 = 2.5번, 분산 5·0.5·0.5 = 1.25. 시행이 공정할 필요는 없습니다. 각 부품이 0.2의 확률로 불량인 3개에서 정확히 1개 불량일 확률은 C(3, 1)·0.2·0.8² = 3·0.2·0.64 = 0.384입니다.
4. Key Properties & Common Mistakes
- Independence and constant p required. Drawing without replacement breaks both (use the hypergeometric instead).
- Don’t forget C(n, k). It counts the orderings; pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ alone is just one specific sequence.
- “At least” uses the complement. P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) is far easier than summing.
- Mean is np, not n/2. Only a fair coin has mean n/2; in general it is np.
독립과 일정한 p가 필요합니다 — 비복원 추출은 둘 다 깨므로 초기하분포를 씁니다. C(n, k)를 빠뜨리지 마세요 — 이는 순서를 세며, pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ만으로는 특정 한 순서일 뿐입니다. "적어도"는 여사건으로 P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0)이 훨씬 쉽습니다. 평균은 n/2가 아니라 np이며, n/2는 공정한 동전일 때뿐입니다.
5. Frequently Asked Questions
What is the binomial probability formula? P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, the probability of exactly k successes in n independent trials with success probability p.
What are the mean and variance? The mean is n·p and the variance is n·p·(1 − p).
When can I use the binomial distribution? When you have a fixed number of independent trials, each with two outcomes and the same success probability p.
이항 확률은 P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ로, p의 성공 확률을 갖는 독립 시행 n번에서 정확히 k번 성공할 확률입니다. 평균은 n·p, 분산은 n·p·(1 − p)입니다. 고정된 횟수의 독립 시행이 각각 두 결과와 같은 성공 확률 p를 가질 때 사용합니다.
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