Combinations

1. What Is a Combination?

A combination counts the number of unordered selections — how many ways to choose a group when the order of selection does not matter. Picking 3 people for a committee is a combination, because {Ann, Bob, Cara} is the same committee however you list them.

The identifying question is again “does order matter?” If not, you want combinations; if it does, you want permutations. Every committee of 3 corresponds to 3! = 6 ordered line-ups, which is exactly how the two formulas relate.

조합은 순서 없는 선택의 수를 셉니다 — 뽑는 순서가 상관없을 때 한 묶음을 고르는 방법의 수입니다. 위원 3명을 뽑는 것은 {Ann, Bob, Cara}가 나열 순서와 무관하게 같은 위원회이므로 조합입니다. 가르는 질문은 역시 "순서가 중요한가?"이며, 아니면 조합, 그러면 순열입니다. 위원회 하나는 3! = 6가지 순서 배열에 대응하며, 이것이 두 공식의 관계입니다.

2. The C(n,k) Formula & a Worked Example

The number of ways to choose k items from n distinct items, ignoring order, is C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!). It is read “n choose k” and also written as a binomial coefficient.

Worked example. Choose 3 people from 5 — C(5, 3):

• By the formula: 5! / (3! · 2!) = 120 / (6 · 2) = 120 / 12 = 10.
• From permutations: C(5, 3) = P(5, 3) / 3! = 60 / 6 = 10.

So there are 10 unordered selections.

서로 다른 n개에서 순서 없이 k개를 고르는 가짓수는 C(n, k) = n!/(k!·(n − k)!)이며 "n combination k"로 읽습니다. 예: 5명 중 3명 → 5!/(3!·2!) = 120/12 = 10, 순열에서도 P(5,3)/3! = 60/6 = 10. 따라서 10가지입니다.

3. Symmetry & a Larger Example

Combinations are symmetric: C(n, k) = C(n, n − k), because choosing which k to include is the same as choosing which n − k to leave out. So C(5, 3) = C(5, 2) = 10 — often the quicker one to compute.

A famous larger count: the number of distinct 5-card poker hands from a 52-card deck is C(52, 5) = (52·51·50·49·48)/120 = 2 598 960. Order does not matter, so a hand is a combination, not a permutation.

조합은 대칭입니다: C(n, k) = C(n, n − k). 포함할 k개를 고르는 것은 제외할 n−k개를 고르는 것과 같기 때문입니다. 그래서 C(5,3) = C(5,2) = 10이며, 보통 더 작은 쪽이 계산이 빠릅니다. 큰 예로 52장에서 5장 패의 가짓수는 C(52,5) = (52·51·50·49·48)/120 = 2,598,960입니다. 순서가 무관하므로 조합입니다.

4. Key Properties & Common Mistakes

• Order does NOT matter. The defining contrast with permutations — don’t count the same group twice.
• Symmetry. C(n, k) = C(n, n − k); use the smaller k to save arithmetic.
• Relation to permutations. C(n, k) = P(n, k) / k!; dividing by k! removes the orderings.
• Edge cases. C(n, 0) = C(n, n) = 1, and C(n, 1) = n.

조합은 순서가 중요하지 않다는 점이 순열과의 결정적 차이로, 같은 묶음을 두 번 세면 안 됩니다. C(n, k) = C(n, n − k) 대칭을 이용해 작은 k로 계산하면 편합니다. C(n, k) = P(n, k)/k!로 k!만큼 나눠 순서를 제거합니다. 경계값으로 C(n,0)=C(n,n)=1, C(n,1)=n입니다.

5. Frequently Asked Questions

What is the formula for combinations? C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!), the number of unordered ways to choose k items from n.

How do combinations relate to permutations? C(n, k) = P(n, k) / k!. Dividing by k! removes the orderings that permutations count separately.

Why does C(n, k) = C(n, n − k)? Choosing which k items to include is the same as choosing which n − k to exclude, so the counts are equal.

조합은 C(n, k) = n!/(k!·(n − k)!)로, n개에서 순서 없이 k개를 고르는 가짓수입니다. C(n, k) = P(n, k)/k!로 순열과 연결되며, k!로 나눠 순서를 제거합니다. 포함할 k개를 고르는 것이 제외할 n−k개를 고르는 것과 같아 C(n, k) = C(n, n − k)가 성립합니다.

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