Permutations

1. What Is a Permutation?

A permutation counts the number of ordered arrangements of items: how many distinct ways you can line things up when the order matters. Picking a 1st, 2nd, and 3rd place finisher in a race is a permutation, because gold-silver-bronze is different from silver-gold-bronze.

The key question that identifies a permutation is “does order matter?” If swapping two items gives a different outcome, you are counting permutations. If not, you want combinations.

순열은 항목을 줄 세우는 순서가 있는 배열의 수를 셉니다. 달리기에서 1·2·3등을 뽑는 것은 금-은-동과 은-금-동이 다르므로 순열입니다. 순열인지 가르는 핵심 질문은 "순서가 중요한가?"입니다. 두 항목을 바꿨을 때 결과가 달라지면 순열, 그렇지 않으면 조합입니다.

2. The P(n,k) Formula & a Worked Example

The number of ways to arrange k items chosen from n distinct items is P(n, k) = n! / (n − k)!, where the factorial n! = n · (n−1) · … · 2 · 1.

Worked example. Choose and order 3 finishers from 5 runners — P(5, 3):

• By the formula: 5! / (5 − 3)! = 120 / 2 = 60.
• By direct counting: 5 choices for 1st × 4 for 2nd × 3 for 3rd = 5 · 4 · 3 = 60.

Both give 60 ordered arrangements.

서로 다른 n개에서 k개를 골라 줄 세우는 가짓수는 P(n, k) = n!/(n − k)!입니다(n! = n·(n−1)·…·2·1). 예: 5명 중 3명의 순위 → 5!/2! = 120/2 = 60, 직접 세기로도 5·4·3 = 60. 둘 다 60가지입니다.

3. Factorials and the Special Case k = n

The factorial grows explosively: 5! = 120, 10! = 3 628 800. When you arrange all n items (k = n), the formula reduces to P(n, n) = n! / 0! = n!, since 0! = 1 by definition. Arranging 5 distinct books on a shelf gives 5! = 120 orders.

This is why permutation counts balloon so fast — adding one more item multiplies the count by the new position’s choices.

팩토리얼은 폭발적으로 커집니다: 5!=120, 10!=3,628,800. n개를 모두 배열하면(k=n) P(n,n) = n!/0! = n!입니다(정의상 0!=1). 서로 다른 책 5권을 책장에 꽂는 방법은 5! = 120가지입니다. 항목을 하나 늘릴 때마다 새 자리의 선택 수만큼 곱해지므로 순열의 수는 매우 빠르게 커집니다.

4. Key Properties & Common Mistakes

• Order matters. That is the whole point — abc and bca are counted separately.
• 0! = 1. A common stumbling block; it makes P(n, n) = n! work cleanly.
• More than combinations. P(n, k) = C(n, k) · k!, so permutations always exceed combinations by a factor of k!.
• Distinct items assumed. Repeated identical items require the multiset formula n! / (n₁! n₂! …).

순열의 핵심은 순서가 중요하다는 점으로 abc와 bca를 따로 셉니다. 0!=1은 자주 헷갈리지만 P(n,n)=n!을 깔끔하게 만듭니다. P(n,k) = C(n,k)·k!이므로 순열은 항상 조합보다 k!배 많습니다. 항목이 서로 다르다고 가정하며, 같은 항목이 반복되면 다중집합 공식 n!/(n₁! n₂! …)을 씁니다.

5. Frequently Asked Questions

What is the formula for permutations? P(n, k) = n! / (n − k)!, the number of ordered arrangements of k items chosen from n distinct items.

What is the difference between a permutation and a combination? Permutations count ordered arrangements; combinations count unordered selections. P(n, k) is always k! times C(n, k).

Why is 0! equal to 1? By convention, so that formulas like P(n, n) = n!/0! = n! and the combination formula stay consistent.

순열은 P(n, k) = n!/(n − k)!로, 서로 다른 n개에서 k개를 골라 순서대로 배열하는 가짓수입니다. 순열은 순서 있는 배열, 조합은 순서 없는 선택을 세며 P(n,k)는 C(n,k)의 k!배입니다. 0!=1은 P(n,n)=n!/0!=n! 등 공식의 일관성을 위한 약속입니다.

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