Scalar Multiplication

1. What Is Scalar Multiplication?

Scalar multiplication scales a vector by an ordinary number (a scalar). The result is a vector that points along the same line as the original — only its length, and possibly its direction, changes.

• If k > 1, the vector stretches; if 0 < k < 1, it shrinks.
• If k < 0, it also reverses direction, pointing the opposite way.
• If k = 0, the result is the zero vector.

스칼라배는 벡터에 하나의 수(스칼라)를 곱해 크기를 조절합니다. 결과는 원래와 같은 직선 위의 벡터이며, k > 1이면 늘어나고 0 < k < 1이면 줄어들며, k < 0이면 방향이 반대로 뒤집히고, k = 0이면 영벡터가 됩니다.

2. The Component Rule

Multiply every component by the scalar:

k·a = (k·a₁, k·a₂, …, k·aₙ)

Worked example. For k = 3 and a = (2, −1, 4):

3·a = (3·2, 3·(−1), 3·4) = (6, −3, 12)

The length scales by the absolute value of the scalar: |k·a| = |k|·|a|. Here the original magnitude is tripled.

모든 성분에 스칼라를 곱합니다: k·a = (k·a₁, …, k·aₙ). 예: 3·(2, −1, 4) = (6, −3, 12). 크기는 |k·a| = |k|·|a|로, 스칼라 절댓값만큼 배가 됩니다.

3. The Geometric Picture

On a number line of arrows, scalar multiplication slides the tip in or out along the original direction:

Any two vectors related by a scalar (one is k times the other) are parallel — also called collinear or linearly dependent.

스칼라배는 끝점을 원래 방향을 따라 늘이거나 줄입니다(음수면 반대 방향). 한 벡터가 다른 벡터의 스칼라배이면 두 벡터는 평행(공선·일차종속)합니다.

4. Key Properties

• Distributive over vector addition. k(a + b) = ka + kb.
• Distributive over scalar addition. (k + m)a = ka + ma.
• Associative with scalars. (km)a = k(ma).
• Identity. 1·a = a, and 0·a = 0 (the zero vector).

Together with addition, these eight axioms define a vector space — the structure underlying all of linear algebra.

분배법칙 k(a + b) = ka + kb, (k + m)a = ka + ma, 결합 (km)a = k(ma), 항등 1·a = a, 0·a = 0 이 성립합니다. 덧셈과 함께 이 공리들이 벡터공간을 정의합니다.

5. Frequently Asked Questions

How do you multiply a vector by a scalar? Multiply each component by the scalar: k·(a₁, …, aₙ) = (k·a₁, …, k·aₙ).

What does a negative scalar do? It reverses the vector’s direction while scaling its length by the absolute value of the scalar.

Does scalar multiplication change a vector’s direction? Only its sign: a positive scalar keeps the direction, a negative scalar reverses it, and the line the vector lies on never changes.

각 성분에 스칼라를 곱합니다. 음수 스칼라는 방향을 반대로 바꾸고 길이는 절댓값 배가 됩니다. 양수면 방향 유지, 음수면 반대 방향이며 벡터가 놓인 직선은 변하지 않습니다.

Ready to practice? Drill scalar multiplication and the rest of linear algebra on C:Vector, or review the full vector reference and the related vector addition, magnitude, and unit vectors.

실전 연습은 C:Vector에서, 전체 개념은 벡터 레퍼런스와 벡터 덧셈, 크기, 단위벡터 문서에서 이어집니다.